Как найти параметры параболы по результатам измерений?

1Поводом для написания этой заметки стала беседа с коллегой по работе, который сделал измерения двух взаимосвязанных величин, нанес их на плоскость и заметил, что они напоминают часть параболы. Он попросил найти аппроксимацию, максимально близко располагающуюся около точек измерения.

Предположим мы сделали несколько не очень точных измерений каких-то двух, скорее всего взаимосвязанных физических величин и результаты нанесли на плоскость в виде точек. Эти результаты на плоскости напоминают какую-то кривую, возможно параболу, как же ее найти?

Решение.

Запишем уравнение параболы в виде:

{y=a_0+a_1x+a_2x^2}

А результаты изменений произвольно пронумеруем и занесем в таблицу:

Номер измерения i Результат измерения величины x Результат измерения величины y
1 x1 y1
2 x2 y2
N xN yN

Нумерация точек может быть произвольной, главное сохранить пары точек [x_i,y_i].

Для удобства данные можно занести в Microsoft Excel

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares) Parabolic Interpolation

Файл с данным примером в формате Excel можно скачать тут: Data.xls.

Данные подготовлены. А что дальше? Как найти параметры параболы a_0, a_1, a_2, располагающейся максимально близко ко всем точкам одновременно? Понятно, что если количество точек больше трех и точки имеют случайную составляющую (или попросту говоря шум измерения) провести параболу через все точки одновременно в общем случае невозможно.

На языке математики указать, что точка с номером i должна быть максимально близко к параболе можно так:

{a_0+a_1x_i+a_2x^2_i-y_i \to 0}

Для того чтобы указать на то, что бы все N точек оказаться максимально близко к параболе можно воспользоваться выражением:

{S(a_0,a_1,a_2) = \displaystyle\sum_{i=1}^N{{(a_0+a_1x_i+a_2x^2_i-y_i)}^2} \to 0}

Которое обозначает что сумма квадратов «несоответствия» всех точек должна быть минимальна. В этом и заключается суть Метода Наименьших Квадратов (МНК), по-английски метод называется the Method of Least Squares. Данный метод можно назвать основным для обработки статистических данных и определения корреляции.

Последнее выражение фактически обозначает, что если каким-то образом можно подобрать коэффициенты a_0, a_1, a_2 так, чтобы сумма S(a_0, a_1, a_2) окажется минимальной, то задача будет решена. Можно найти коэффициенты a_0, a_1, a_2 простым перебором или угадать, можно применить какие либо иные, более или менее эффективные численные методы, а можно найти точное аналитическое решение.

Выберем последний путь, так как он позволяет получить наиболее точное решение при минимуме вычислительных затрат.

Из математического анализа известно, что минимум функции находится в точке, где производная этой функции равна нуля. Наша функция S(a_0, a_1, a_2) зависит от трех параметров и не может быть отрицательной, так как под суммой выражение в квадрате. Найдем частные производные от S(a_0, a_1, a_2) по a_0, a_1, a_2 и приравняем каждую из них к нулю. Получим три уравнения которые должны быть решены совместно:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Получим систему уравнений:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Выполним преобразования:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Введем обозначения:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

В результате система уравнений примет компактный вид:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Эту систему уравнений можно записать в матричном виде:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)

Решение системы уравнений в матричном виде имеет вид:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares) Parabolic Interpolation

На этом все аналитические выкладки заканчиваются и можно перейти к вычислениям в Microsoft Excel.

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares) Parabolic Interpolation

Готовый файл: LS.xls.
Подобные статьи: Как найти параметры прямой по результатам измерений?

Запись опубликована в рубрике 3. Математика с метками , , , , . Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Один комментарий на «Как найти параметры параболы по результатам измерений?»

  1. Кирилл говорит:

    Спасибо за статью. Очень доступно написано, у меня по этой теме курсовая работа. Долго не мог найти информацию. Но нашел ее здесь. Спасибо

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.