Как найти параметры прямой по результатам измерений?

1
При решении очередной технической задачи потребовалось найти уравнение прямой по зашумленным выборкам АЦП. Фактически данная статейка является упрощением предыдущей, поэтому все пояснения можно почерпнуть там. В этой статье представлены только формулы и конечный результат.

Решение.

Запишем уравнение прямой в виде:

{y=a_0+a_1x}

Результаты изменений произвольно пронумеруем и занесем в таблицу:

Номер измерения i Результат измерения величины x Результат измерения величины y
1 x1 y1
2 x2 y2
N xN yN

Нумерация точек может быть произвольной, главное сохранить пары точек [x_i,y_i].

Критерий решения можно записать так:

{a_0+a_1x_i-y_i \to 0}

Для расчета используем Метод Наименьших Квадратов:

{S(a_0,a_1) = \displaystyle\sum_{i=1}^N{{(a_0+a_1x_i-y_i)}^2} \to 0}

{  \begin{cases}  \begin{matrix}  \frac{\partial S}{\partial a_0}  = \sum\limits_{i=1}^N 2(a_0 & + a_1 x_i & - y_i) & = 0 \\  \frac{\partial S}{\partial a_1}  = \sum\limits_{i=1}^N 2(a_0 & + a_1 x_i & - y_i) x_i & = 0  \end{matrix}  \end{cases} }

{  \begin{cases}  \begin{matrix}  \sum\limits_{i=1}^N (a_0 & + a_1 x_i & - y_i) & = 0 \\  \sum\limits_{i=1}^N (a_0 & + a_1 x_i & - y_i) x_i & = 0  \end{matrix}  \end{cases} }

{  \begin{cases}  \begin{matrix}  \sum\limits_{i=1}^N (a_0 & + a_1 x_i & - y_i) & = 0 \\  \sum\limits_{i=1}^N (a_0 x_i & + a_1 x_i^2 & - x_i y_i) & = 0  \end{matrix}  \end{cases} }

{  \begin{cases}  \begin{matrix}  a_0 N &  +a_1 \sum\limits_{i=1}^N x_i &  = \sum\limits_{i=1}^N y_i \\  a_0 \sum\limits_{i=1}^N x_i &  +a_1 \sum\limits_{i=1}^N x_i^2 &  = \sum\limits_{i=1}^N x_iy_i  \end{matrix}  \end{cases} }

Введем обозначение:

{  \begin{cases}  \begin{matrix}  S_1 = \sum\limits_{i=1}^N x_i &S_{y0} = \sum\limits_{i=1}^N y_i \\  S_2 = \sum\limits_{i=1}^N x_i^2 &S_{y1} = \sum\limits_{i=1}^N x_iy_i  \end{matrix}  \end{cases} }

Получаем систему уравнений:

{ \begin{cases}  a_0 N + a_1 S_1 = S_{y0} \\  a_0 S_1 + a_1 S_2 = S_{y1}  \end{cases} }

Та же система уравнений в матричной форме:

{  \begin{pmatrix}  N & S_1 \\  S_1 & S_2  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} S_{y0} \\ S_{y1} \end{pmatrix} }

Решение системы уравнений:

{  \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  N & S_1 \\  S_1 & S_2  \end{pmatrix} ^{-1}  \begin{pmatrix} S_{y0} \\ S_{y1} \end{pmatrix} }

{  \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} =  \frac{1}{N S_2-S_1^2}  \begin{pmatrix}  S_2 & -S_1 \\  -S_1 & N  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  S_{y0} \\  S_{y1}  \end{pmatrix} }

{  \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} =  \frac{1}{N S_2-S_1^2}  \begin{pmatrix}  S_2 S_{y0} - S_1 S_{y1} \\  -S_1 S_{y0} + N S_{y1}  \end{pmatrix} }

Решение:

{ \begin{cases}  a_0=\frac{S_2 S_{y0} -S_1 S_{y1}}{NS_2-S_1^2} \\  a_1=\frac{N S_{y1}-S_1 S_{y0}}{NS_2-S_1^2}  \end{cases} }

Вычисления в Microsoft Excel:

Line_xls

Готовый файл: Line.xls.

Подобные статьи: Как найти параметры параболы по результатам измерений?

Запись опубликована в рубрике 3. Математика. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.