Как найти параметры прямой по результатам измерений?

При решении очередной технической задачи потребовалось найти уравнение прямой по зашумленным выборкам АЦП. Фактически данная статейка является упрощением предыдущей, поэтому все пояснения можно почерпнуть там. В этой статье представлены только формулы и конечный результат.

Решение.

Запишем уравнение прямой в виде:

${y=a_0+a_1x}$

Результаты изменений произвольно пронумеруем и занесем в таблицу:

Номер измерения i	Результат измерения величины x	Результат измерения величины y
1	x₁	y₁
2	x₂	y₂
…	…	…
N	*x_N*	*y_N*

Нумерация точек может быть произвольной, главное сохранить пары точек $[x_i,y_i]$ .

Критерий решения можно записать так:

${a_0+a_1x_i-y_i \to 0}$

Для расчета используем Метод Наименьших Квадратов:

${S(a_0,a_1) = \displaystyle\sum_{i=1}^N{{(a_0+a_1x_i-y_i)}^2} \to 0}$

${ \begin{cases} \begin{matrix} \frac{\partial S}{\partial a_0} = \sum\limits_{i=1}^N 2(a_0 & + a_1 x_i & - y_i) & = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial a_1} = \sum\limits_{i=1}^N 2(a_0 & + a_1 x_i & - y_i) x_i & = 0 \end{matrix} \end{cases} }$

${ \begin{cases} \begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^N (a_0 & + a_1 x_i & - y_i) & = 0 \\ \sum\limits_{i=1}^N (a_0 & + a_1 x_i & - y_i) x_i & = 0 \end{matrix} \end{cases} }$

${ \begin{cases} \begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^N (a_0 & + a_1 x_i & - y_i) & = 0 \\ \sum\limits_{i=1}^N (a_0 x_i & + a_1 x_i^2 & - x_i y_i) & = 0 \end{matrix} \end{cases} }$

${ \begin{cases} \begin{matrix} a_0 N & +a_1 \sum\limits_{i=1}^N x_i & = \sum\limits_{i=1}^N y_i \\ a_0 \sum\limits_{i=1}^N x_i & +a_1 \sum\limits_{i=1}^N x_i^2 & = \sum\limits_{i=1}^N x_iy_i \end{matrix} \end{cases} }$

Введем обозначение:

${ \begin{cases} \begin{matrix} S_1 = \sum\limits_{i=1}^N x_i &S_{y0} = \sum\limits_{i=1}^N y_i \\ S_2 = \sum\limits_{i=1}^N x_i^2 &S_{y1} = \sum\limits_{i=1}^N x_iy_i \end{matrix} \end{cases} }$

Получаем систему уравнений:

${ \begin{cases} a_0 N + a_1 S_1 = S_{y0} \\ a_0 S_1 + a_1 S_2 = S_{y1} \end{cases} }$

Та же система уравнений в матричной форме:

${ \begin{pmatrix} N & S_1 \\ S_1 & S_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S_{y0} \\ S_{y1} \end{pmatrix} }$

Решение системы уравнений:

${ \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} N & S_1 \\ S_1 & S_2 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} S_{y0} \\ S_{y1} \end{pmatrix} }$

${ \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \frac{1}{N S_2-S_1^2} \begin{pmatrix} S_2 & -S_1 \\ -S_1 & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S_{y0} \\ S_{y1} \end{pmatrix} }$

${ \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \frac{1}{N S_2-S_1^2} \begin{pmatrix} S_2 S_{y0} - S_1 S_{y1} \\ -S_1 S_{y0} + N S_{y1} \end{pmatrix} }$